Source page: http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html
โดย แอนน์-มารี แร่โควิช และ มิทรี มันคือกัลเวียน
Anne-Marie Oreskovich และ Dmitry Sagalovskiy
ชมรมคณิตศาสตร์มีสิทธิ์สัมภาษณ์ ฮาร์วาร์ ศาสตราจารย์ และ เคอร์ติ มูลเล็น ผู้ชนะเลิศเหรียญฟิลด์ล่าสุด ในระหว่างการสัมภาษณ์เป็นเวลานานหนึ่งชั่วโมงศาสตราจารย์ มูลเล็น ได้พูดคุยเกี่ยวกับประวัติความเป็นมาการวิจัยประสบการณ์ในมหาวิทยาลัยต่าง ๆ ทั่วประเทศ ชมรมคณิตศาสตร์ขอขอบคุณศาสตราจารย์แมคมัลเลนที่สละเวลาเพื่อให้เรารู้จักเขามากขึ้น หากต้องการข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับศาสตราจารย์ มูลเล็น โปรดดูหน้าเว็บของเขาที่ http://math.harvard.edu/~ctm
ค: คุณเคยอยู่ที่ฮาร์วาร์ดมานานเท่าไหร่แล้ว?
อ: หนึ่งปีครึ่งถ้าคุณไม่นับวันบัณฑิตศึกษาของฉัน
ค: คุณเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่นี่ไหม
อ: ถูกต้อง
ค: แล้วคุณอยู่ที่ไหนในระดับปริญญาตรี
อ: ฉันอยู่ที่วิทยาลัยวิลเลียมส์ในรัฐแมสซาชูเซตส์ตะวันตกจากนั้นฉันใช้เวลาหนึ่งปีในเคมบริดจ์ประเทศอังกฤษ
ค: คุณมาจากไหน
อ: นั่นเป็นคำถามที่ตอบยาก โดยทั่วไปแล้วฉันเติบโตที่ชาร์ล็อตต์เวอร์มอนต์ แต่จริง ๆ แล้วฉันเกิดที่บาร์กลีย์แคลิฟอร์เนีย เราย้ายไปรอบ ๆ เหมือนกันเล็กน้อย แต่ฉันคิดว่าตัวเองมาจากเวอร์มอนต์
ค: คุณช่วยเล่าเรื่องเหรียญให้เราฟังหน่อยได้ไหม?
อ: ฉันเชื่อว่ามันเริ่มต้นในปี 1930 ก่อตั้งขึ้นโดยชาวแคนาดาเขตข้อมูลและฉันรู้ว่า คนที่มีโอกาส และ ดักลาส ได้รับสองคนแรก มันให้ทุก ๆ สี่ปีที่ ICM และในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมาพวกเขาได้มอบให้กับคนสามหรือสี่คน ลองดูกันว่าใครได้รับในปีนี้บ้าง เอชไอวีสาย, ไปเลย และ ฝูงโบรค จริงๆแล้วพวกเขาทั้งหมดยกเว้น ไปเลย ได้ใช้เวลาใน เบิร์กลีย์ ซึ่งเป็นที่ที่ฉันอยู่เจ็ดปีก่อนที่ฉันจะมาที่นี่ ดังนั้นฉันจึงรู้ทั้ง ฝูงโบรค และ เอชไอวีสาย จาก เบิร์กลีย์
ค: คุณอยู่ที่ไหนเมื่อคุณค้นพบ
อ: ฉันอยู่ที่นี่ คุณจะทราบล่วงหน้าสองสามเดือนและควรเก็บเป็นความลับจนกว่าจะถึงวันพิธีจริง ดังนั้นจริง ๆ แล้วฉันไม่ได้บอกใครเลยซึ่งค่อนข้างยากเพราะมีข่าวลือแพร่สะพัดและฉันต้องปฏิเสธพวกเขาอยู่ตลอดเวลา
ค: คุณช่วยเล่าให้เราฟังหน่อยได้ไหมว่างานวิจัยของคุณเกี่ยวกับอะไรที่มอบเหรียญให้คุณ?
อ: ขอเริ่มด้วยทิศทางการวิจัยของฉัน ก่อนอื่นฉันเขียนวิทยานิพนธ์ที่ ฮาร์วาร์ แต่ฉันไม่ได้ทำงานกับอาจารย์ ฮาร์วาร์ ฉันทำงานคอมพิวเตอร์กับ เดวิดมัมฟอร์ด ในกลุ่ม เอียนขนาดเล็ก ก่อนที่ฉันจะเรียนจบและฉันสนใจวิชานั้น แต่จริง ๆ แล้วฉันก็จบลงด้วยการเขียนวิทยานิพนธ์ของฉันกับ เดนนิสซัลลิแวน ซึ่งในเวลานั้นเป็นอาจารย์ที่ เมืองมหาวิทยาลัย ในนิวยอร์กและ IHES ที่ฝรั่งเศส ดังนั้นฉันโชคดีมากที่ แม่ฟอร์ด แนะนำให้ฉันรู้จักกับเขาในปีสุดท้ายของการสำเร็จการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาของฉัน ณ จุดนี้ฉันไม่มีที่ปรึกษาและไม่มีหัวข้อวิทยานิพนธ์ และฉันไปฝรั่งเศสและทำงานร่วมกับซัลลิแวนที่ IHES เป็นเวลาหนึ่งภาคการศึกษาและฉันได้พบกับ สตีฟ เมล ที่นั่นซึ่งให้ปัญหาวิทยานิพนธ์ที่ดีนี้แก่ฉันในการแก้สมการพหุนาม
คุณคงเคยได้ยินเกี่ยวกับวิธีการของนิวตันในการแก้ชื่อพหุนาม ถ้าคุณใช้วิธีของนิวตันสำหรับพหุนามลูกบาศก์มันอาจไม่ทำงาน คุณอาจติดอยู่ในระดับต่ำสุดในท้องถิ่น และถ้าคุณเปลี่ยนการเดาเริ่มต้นนิดหน่อยมันอาจยังไม่มาบรรจบกับรูท ดังนั้นวิธีการของนิวตันจึงไม่น่าเชื่อถือสำหรับการแก้สมการพหุนาม ปัญหาที่ฉันทำอยู่คือว่ามีอัลกอริธึมใด ๆ เช่นวิธีของนิวตันหรือไม่ซึ่งเกี่ยวข้องกับการวนซ้ำของฟังก์ชันตรรกยะเพียงอันเดียวที่สามารถแก้สมการพหุนามได้ ฉันสามารถพิสูจน์ได้ว่าคำตอบคือไม่สำหรับระดับ 4 หรือมากกว่าและที่จริงฉันพบอัลกอริทึมใหม่สำหรับการแก้ปัญหาลูกบาศก์ซึ่งมีความน่าเชื่อถือ
จากนั้นฉันไปที่ MSRI และอยู่ที่ MIT หนึ่งภาคการศึกษาจากนั้นพรินซ์ตันเป็นเวลาสี่ปี จางไป ดอยล์ และฉันทำงานใน พรินซ์ตัน ในการแก้สมการระดับห้าและเราพบว่าอัลกอริทึมที่ไม่คาดคิดที่สวยงามสำหรับการแก้ชื่อพหุนามควินนิค แต่มันก็ไม่ขัดแย้งกับวิทยานิพนธ์ของฉันเพราะมันเป็นหอคอยแห่งการทำซ้ำ นั่นคือคุณทำซ้ำฟังก์ชัน มีเหตุผล หนึ่งเอาสิ่งที่มันมาบรรจบกันและเสียบมันเข้ากับอีกอัน
ในขณะที่คุณอาจจะรู้ว่าการแก้ ระดับที่ห้า ที่ถูกผูกไว้กับ ลัวส์ กลุ่ม5และความจริงที่ว่า5 คือกลุ่มที่เรียบง่าย นี้ถูกใช้โดย ลัวส์ จะพิสูจน์ว่าคุณไม่สามารถแก้สม ระดับที่ห้า โดยอนุมูล
ปรากฎว่าเพื่อให้สามารถแก้สมการโดยใช้แผนที่เหตุผลซ้ำแล้วซ้ำอีกสิ่งที่คุณต้องทำคือหาแผนที่เหตุผลที่กลุ่มสมมาตรคือกลุ่ม ลัวส์ ของพหุนาม ขณะนี้มีเพียงกลุ่มเล็ก ๆ ที่สามารถเป็นกลุ่มสมมาตรบนทรงกลม แมนน์ และกลุ่มที่น่าสนใจมาจากของแข็งอย่างสงบ ดังนั้น A5 กลุ่มสมมาตรของ เฟ จึงเป็นสิ่งที่ซับซ้อนที่สุดที่คุณจะได้รับ เราใช้แผนที่เหตุผลนี้กับสมมาตร A5 เพื่อให้อัลกอริทึมใหม่สำหรับการแก้สมการ ระดับที่ห้า อย่างน่าเชื่อถือ และด้วยโทเค็นเดียวกันเนื่องจาก S6 หรือ A6 ไม่ทำงานบนทรงกลม แมนน์ จึงไม่มีอัลกอริทึมที่คล้ายกันในการแก้สมการระดับ 6 หรือมากกว่า นั่นคืองานวิจัยชิ้นแรกของฉัน: การแก้พหุนามและพลวัตของแผนที่เหตุผล ลิงค์
ตอนนี้สิ่งต่อไปที่ผมทำงานเกี่ยวกับตอนที่ผมเป็นที่ พรินซ์ตัน เป็นทฤษฎีของเทอร์สตันผ่อนชำระ 3 นานา เทอร์สตันมีโครงการวิจัยซึ่งได้รับการประสบความสำเร็จมากในการพยายามที่จะหารูปทรงเรขาคณิตที่ยอมรับสำหรับวัตถุสามมิติ ตัวอย่างเช่นถ้าคุณคิดว่าคุณมีมากมายบางคนที่แอบ 3 ทรงกลมถ้าคุณก็สามารถหาตัวชี้วัดรอบที่มันแล้วคุณก็จะรับรู้เป็น 3 ทรงกลม ดังนั้นหากคุณสามารถหาตัวชี้วัดที่ช่วยให้นานารูปร่างที่ดีแล้วคุณสามารถรับรู้สิ่งต่าง ๆ นานาคือ ปรากฎว่าส่วนใหญ่ นานา สามมิติยอมรับตัวชี้วัดเหล่านี้ แต่ตัวชี้วัดที่จะไม่โค้งบวกเช่น 3 ทรงกลมพวกเขามีความโค้งในเชิงลบ ตัวอย่างเช่นถ้าคุณใช้เวลานอกปมใน S3 เป็นส่วนประกอบปมแล้วมันมักจะยอมรับว่าเป็นหนึ่งในเหล่านี้เรียกว่าตัวชี้วัดที่เกินความจริงของความโค้งเชิงลบคง เพราะการที่มีตอนนี้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่คุณก็สามารถวาดเป็นปมที่สุ่มด้วยเมาส์และคลิกและภายในหนึ่งหรือสองวินาทีก็จะบอกคุณว่าสิ่งที่มันเป็นปม และถ้าคุณได้ให้มันสองนอตก็จะทราบทันทีหรือไม่ว่าพวกเขาเป็นปมเดียวกัน นี้เป็นที่น่าตื่นตาตื่นใจเพราะปัญหาของการแบ่งประเภทของนอตเป็นคลาสสิกเรื่องยากมากที่จะแก้ปัญหา
ในขณะที่ปรินซ์ตันฉันพบหลักฐานการวิเคราะห์ใหม่ของทฤษฎีบทของเทอร์สตันที่ให้โครงสร้างแบบไฮเพอร์โบลิกบน 3 แมนิโฟลด์จำนวนมากรวมถึงการเสริมปมมากที่สุด บทพิสูจน์ใหม่นี้เกี่ยวข้องกับซีรี่ส์คะแนนซึ่งเป็นหัวข้อคลาสสิคในการวิเคราะห์ที่ซับซ้อนและยังนำไปสู่การแก้ปัญหาการคาดเดาของ ทำมัน และ เป็นอาร์เอส ต่อมาที่ เบิร์กลีย์ ฉันเริ่มเห็นความคล้ายคลึงกันระหว่างทฤษฎีของ 3-นานา ที่มีเส้นใยอยู่เหนือวงกลม หัวข้อนี้ได้ผลในหนังสือ 2 เล่มที่ปรากฏในพรินซ์ตัน “พงศาวดารของคณิตศาสตร์ การศึกษา” ฉันคิดว่าเหรียญเหรียญฟิลด์เป็นที่รับรู้ของโครงการเหล่านี้
ดังนั้นผมทำงานเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของแผนที่ที่มีเหตุผลและผมทำงานเกี่ยวกับการผ่อนชำระ 3 นานา และผมทำงานเกี่ยวกับพื้นผิว แมนน์ เป็นหลัก และฉันยังได้ทำงานใน topology ของพื้นผิวและนอต และสิ่งที่ผมอยากจะเน้นก็คือว่าสำหรับฉันทุกเขตข้อมูลเหล่านั้นเป็นจริงสาขาเดียวกัน คุณได้อย่างง่ายดายมากเริ่มต้นทำงานกับปัญหาในการเปลี่ยนแปลงและพบว่าตัวเองไม่กี่เดือนต่อมาทำงานกับปัญหาในทฤษฎีปมหรือโทโพโลยีเพราะพวกเขาทั้งหมดที่เชื่อมต่อกันมาก – นอตวิเคราะห์ที่ซับซ้อนมีหลายชื่อ แมนน์ พื้นผิว, การผ่อนชำระ 3 นานา, ฯลฯ มีไม่ได้จริงๆชื่อสาขานี้ แต่ที่สนามผมทำงานใน
ค: คุณอยู่ในโรงเรียนที่ดีที่สุดสี่แห่งในอเมริกาด้านคณิตศาสตร์คือปรินซ์ตันเบิร์กลีย์เอ็มไอทีและฮาร์วาร์ด คุณสามารถเปรียบเทียบและเปรียบเทียบความแตกต่างในแง่ของบรรยากาศความเป็นมิตรจังหวะการทำงานของผู้คนและอื่น ๆ สำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีที่คิดจะเรียนต่อในระดับบัณฑิต
อ: พวกเขาแตกต่างกันจริงๆ ให้ฉันออกจาก MIT เพราะฉันใช้เวลาแค่หนึ่งภาคเรียนที่นั่น พรินซ์ตันเป็นแผนกที่ยอดเยี่ยม แต่เมืองเล็ก ๆ และน่าเบื่อสำหรับคนหนุ่มสาว มันมีความหนาแน่นสูงสุดของผู้คนจาก “ใครเป็นใคร” และมันได้รับการฝึกฝนอย่างดี ไม่มีอะไรที่ไม่คาดคิดเกิดขึ้น ดังนั้นฉันจึงดูไม่ค่อยมีชีวิตชีวาสำหรับฉัน แต่ฉันไม่ได้อยู่ที่นั่นในฐานะนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา พรินซ์ตันเป็นสถานที่ที่ยอดเยี่ยมที่จะไปถ้าคุณรู้ว่าคุณจะไม่ไปที่นั่นตลอดไป ฉันมองย้อนกลับไปอย่างน่ารักในปีของฉันที่ปรินซ์ตัน
พรินซ์ตัน และ ฮาร์วาร์ ปฏิบัติต่อนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาได้ดีมาก อัตราส่วนนักศึกษาต่อคณะมีอัตราส่วนที่ดี นักเรียนได้รับการสนับสนุนอย่างดีแผนกมีขนาดเล็กพอที่นักเรียนจะได้รับความสนใจเป็นรายบุคคล และฉันคิดว่านักเรียนเรียนรู้จากกันและกันมากทั้งสองแห่ง นั่นเป็นองค์ประกอบสำคัญของการศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา
เบิร์กลีย์ก็ยอดเยี่ยมเช่นกัน มันเป็นสถานที่ที่มีแผนกใหญ่หนึ่งร้อยคณะถ้าคุณนับจำนวนคน ฉันชอบที่นี่มาก แต่ใช้พลังงานมากในการหาที่อยู่อาศัยเพื่อค้นหาที่ปรึกษาที่ดีและการเข้าไปในโพรงที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์และอื่น ๆ แต่เมื่อคุณทำอย่างนั้นมันจะตอบแทนคุณอย่างมาก และอากาศก็สวยงาม คุณสามารถเดินจากมหาวิทยาลัยสู่สตรอเบอร์รี่แคนยอนจากนั้นก็เข้าไปในสวนทิลเดนและออกไปดูมนุษย์อย่างสมบูรณ์ภายใน 40 นาที (ที่ ฮาร์วาร์ ในทางกลับกันฉันพบว่าฉันสามารถปั่นจักรยานเป็นเวลาหนึ่งชั่วโมงและยังคงอยู่ในแถบชานเมือง…) ใน เบิร์กลีย์ สระว่ายน้ำอยู่กลางแจ้งมันมีชีวิตชีวามากและทนต่อทุกประเภทของ วิถีชีวิตที่แตกต่างกันผู้คนประเภทต่างๆ คุณรู้สึกถึงอิสรภาพ คุณไม่รู้สึกว่ามีความคิดเกี่ยวกับการทดลองแนวคิดใหม่และไม่ต้องกังวลมากนักเกี่ยวกับว่ามันจะไปได้หรือไม่ สิ่งหนึ่งที่ยอดเยี่ยมเกี่ยวกับ เบิร์กลีย์ ก็คือมีนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาจำนวนมากและมี โพสต์เอกสาร จำนวนมากในพื้นที่โดยเฉพาะอย่างยิ่งกับ MSRI ที่คุณสามารถมีคณะทำงานในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่คุณสามารถนึกได้ มีความสนใจทางคณิตศาสตร์มากมาย
ฉันสนุกมากที่ได้เป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดเช่นกัน ทั้งเคมบริดจ์และเบิร์กลีย์มีข้อได้เปรียบเหนือพรินซ์ตันในแง่ที่ว่าพวกเขาเป็นชุมชนเล็กมีเรื่องมากมายเกิดขึ้นพวกเขาอยู่ใกล้กับเมืองใหญ่ คุณสามารถบอกได้เล็กน้อยจากประสบการณ์การศึกษาของฉันว่าแม้ว่าฉันคิดว่า ฮาร์วาร์ นั้นยอดเยี่ยมจริง ๆ ความจริงที่ว่าคณะของมันมีขนาดเล็กอาจทำให้ยากที่จะหาที่ปรึกษาที่อยู่ในพื้นที่ที่คุณต้องการทำงาน กุญแจสำคัญสู่ความสำเร็จในบัณฑิตวิทยาลัยคือการค้นหาสิ่งที่คุณสนใจพอที่จะทำให้คุณก้าวต่อไปได้สี่หรือห้าปี
ค: ทำไมคุณถึงเลือกมาที่ ฮาร์วาร์ จาก เบิร์กลีย์
อ: ฉันมาเป็นผู้เยี่ยมชมครั้งแรก และฉันพบว่ามันสนุกมากที่ได้สอนที่นี่ ที่เบิร์กลีย์ชั้นเรียนสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีมักจะมีขนาดใหญ่มากและมันก็คุ้มค่ามากที่จะมีนักเรียนที่ดีเหล่านี้ในชั้นเรียนขนาดเล็ก และฉันชอบความจริงที่ว่าแผนกนั้นเล็กพอที่จะรู้จักกับคณาจารย์คนอื่นได้ง่าย และแน่นอนว่าตั้งแต่ฉันเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่นี่ฉันมักจะมองหาฮาร์วาร์ดว่าเป็นสถานที่ที่ยอดเยี่ยมนี้เสมอ ที่จริงฉันพบว่ามันยากที่จะจินตนาการว่าได้เป็นอาจารย์ที่นี่ดังนั้นฉันจึงต้องการสำรวจว่ามันจะเป็นอย่างไร ฉันสนุกกับความจริงที่ว่าพื้นที่ที่ฉันสนใจแตกต่างจาก แต่ทับซ้อนกับคนอื่น ๆ ในแผนก ฉันสนใจสิ่งที่คนอื่นทำมากที่นี่ ดังนั้นสำหรับฉันมันช่วยให้ฉันเรียนต่อได้
ค: แต่สิ่งนี้จะลดโอกาสในการร่วมมือกับคณาจารย์คนอื่น ๆ หรือไม่?
อ: ในตอนแรกฉันเดินทางค่อนข้างน้อยดังนั้นฉันเห็นผู้คนที่อยู่ในทุ่งนาของฉันในฝรั่งเศสหรือในสโตนีบรูคหรือที่อื่น ๆ อย่างไรก็ตามการวิจัยส่วนใหญ่จะทำด้วยตัวเอง ฉันทำวิจัยที่ดีที่สุดด้วยตัวเอง มันมีประโยชน์มากที่จะสามารถเรียกใช้การโต้เถียงโดยผู้เชี่ยวชาญในสาขา แต่ฉันไม่พลาดที่จะมีคนที่อยู่ในสาขาของฉันมาทำงานร่วมกัน ฉันต้องยอมรับมันเป็นการตัดสินใจที่ยากลำบากที่จะมาที่นี่ ฉันคิดถึงการอาศัยอยู่ในเบิร์กลีย์และฉันอาจใช้เวลาวันอาทิตย์ที่นั่น
ค: คุณคิดว่าตัวเองเป็นนักคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาในแง่ที่ว่างานของคุณครอบคลุมคณิตศาสตร์หลายด้านหรือไม่?
อ (หัวเราะ): ไม่ฉันเห็นตัวเองมากขึ้นในฐานะนักเล่นแร่แปรธาตุคนที่เล่นน้ำในพื้นที่ต่าง ๆ และสนใจในสิ่งต่าง ๆ มากมาย แน่นอนฉันจะไม่พูดนักคณิตศาสตร์ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา ตอนนี้ฉันสนุกกับคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันมากมายและฉันสนุกกับการทำงานกับสิ่งที่ฉันไม่ชำนาญและเรียนรู้เกี่ยวกับวิชานั้น ฟิลด์นี้ฉันอธิบายมาแล้วเป็นเรื่องที่วิเศษมากเพราะมันกว้างมากจนสามารถติดต่อกับคณิตศาสตร์หลายประเภท เมื่อฉันมาที่ฮาร์วาร์ดฉันพบว่าสำหรับทฤษฎีจำนวนมาก (เช่นทฤษฎีฮ็อดจ์เกี่ยวกับความซับซ้อนต่าง ๆ เป็นต้น) ฉันไม่เข้าใจจริง ๆ และไม่ได้มีแรงบันดาลใจในการศึกษา ดังนั้นฉันจึงเริ่มจากหัวข้อที่ฉันสามารถเรียนรู้ได้ดีมาก: ตัวแปรตัวจริงหนึ่งตัว
ฉันเรียนหลักสูตรการวิเคราะห์ที่แท้จริงเมื่อฉันเรียนปริญญาตรี ฉันไปที่สแตนฟอร์ดเป็นเวลาหนึ่งปีและเรียนหลักสูตรการวิเคราะห์ที่ยอดเยี่ยมจากเบนจามินไวสส์ซึ่งเป็นอาจารย์ที่มาเยี่ยมจากกรุงเยรูซาเล็ม และนั่นทำให้ฉันตื่นเต้นกับการวิเคราะห์ จากนั้นฉันกลับไปที่วิลเลียมส์และฉันทำงานอย่างใกล้ชิดกับบิลโอลิเวอร์ เขามีอิทธิพลอย่างมากในการศึกษาคณิตศาสตร์ของฉัน มันมาจากเขาที่ฉันได้เรียนรู้แนวคิดการใช้พจนานุกรมในคณิตศาสตร์เป็นครั้งแรกเพื่อใช้ในการเปรียบเทียบระหว่างสาขาที่แตกต่างกันหรือการพัฒนาทางทฤษฎีที่แตกต่างกันเพื่อพยายามเป็นแนวทางในการทำงานของฉัน ดังนั้นสิ่งเหล่านี้จึงเป็นอิทธิพลแรกเริ่มของฉัน
เมื่อฉันมาที่ฮาร์วาร์ดและฉันก็แคสต์เกี่ยวกับ ฉันรู้วิธีการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ – ฉันทำงานในฤดูร้อนที่ IBM-วัตสัน ใน ยอร์กทาวน์สูง – และ ทาจิกิสถาน และ แม่ฟอร์ด เกือบจะร่วมมือกัน ทาจิกิสถาน ได้ทำการเข้าถึงคอมพิวเตอร์ที่ ยอร์กทาวน์สูง ถึง แม่ฟอร์ด ผู้วาดภาพเหล่านี้ที่สวยงามของกลุ่ม เอียนขนาดเล็ก ในฐานะคนที่คุ้นเคยกับโลกคอมพิวเตอร์ที่ ยอร์ก ฉันเริ่มทำงานให้เขาในฐานะโปรแกรมเมอร์คอมพิวเตอร์ของเขาเพื่อช่วยเขาวาดภาพเหล่านี้และอื่น ๆ คุณต้องนึกภาพในสมัยนั้นเราต้องทำการโทรทางไกลและจากนั้นก็ทำงานด้วยโปรแกรมการเขียนเทอร์มินัล 30 ตัวต่อวินาทีในฟอร์แทรน จากนั้นเราจะวาดรูปและเราจะต้องรอหนึ่งสัปดาห์เพื่อให้พวกเขาส่งจดหมายถึงเราจากยอร์กทาวน์เพื่อดูว่ามันออกมาถูกต้องหรือไม่
จากนั้นฉันก็สนใจมิติ ดอร์ฟ และเมื่อฉันรู้การวิเคราะห์ที่แท้จริงฉันจึงพยายามทำสิ่งนั้น กระดาษแผ่นแรกของฉันเป็นปัญหาที่ฉันได้เรียนรู้เมื่อฉันได้พบกับศาสตราจารย์ ไฮโรนาคา ครั้งแรกซึ่งเป็นศาสตราจารย์ของมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ดในเวลานั้นแม้ว่าเขาจะลาจากญี่ปุ่น เมื่อเขากลับมาจากญี่ปุ่นครั้งแรกเขาก็บอกคำถามนี้กับเขาซึ่งเขาไม่สามารถแก้ได้ซึ่งก็คือการคำนวณมิติเศษส่วนของชุดนั้น ๆ ชุดนี้จะได้รับโดยการวาดตัวอักษร “M” และทำซ้ำรูปเดียวกัน ดังที่แสดงไว้ที่นี่.
ในท้ายที่สุดคุณจะได้ชุดที่ไม่เหมือนตัวเอง แต่มันเป็นเรื่องของตัวเอง เศษส่วนที่มีขนาดที่คำนวณได้ง่ายมีคุณสมบัติที่ถ้าคุณนำชิ้นส่วนขนาดเล็กมาปรับขนาดใหม่ด้วยปัจจัยเดียวกันในทั้งสองมิติ อันนี้มีคุณสมบัติที่มีช่องว่างเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่สามารถปรับขนาดให้เป็นช่องว่างขนาดใหญ่ แต่คุณต้องปรับขนาดด้วยพลังของสองทิศทางในทิศทางเดียว เพราะขนาดมันเป็นเรื่องยากที่จะคำนวณ ในงานวิจัยชิ้นแรกของฉันฉันคำนวณมันเป็นมิติ: D = log2 (1 + 2log3 2). นั่นเป็นปัญหาที่ยอดเยี่ยม ฉันทำงานหนักมาก คุณสามารถเห็นว่าฉันชอบที่จะอยู่ใกล้กับพื้นของคณิตศาสตร์ที่ฉันเข้าใจจริงๆ.
จากนั้นฉันเริ่มสนใจการเปลี่ยนแปลงที่ซับซ้อนมากขึ้นดังนั้นฉันจึงไปที่ตัวแปรที่ซับซ้อนหนึ่งตัวจากตัวแปรจริงหนึ่งตัว ฉันมักจะอยู่ใกล้กับสิ่งที่ฉันสามารถเข้าใจได้จริงๆ ดังนั้นหลังจากสิบสองปีหลังจากปริญญาเอกของฉันในที่สุดฉันก็เขียนบทความที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตแคล; และแน่นอนฉันไม่สบายใจกับการวัดแคลเมื่อฉันอยู่ในบัณฑิตวิทยาลัย ฉันต้องไม่เพียงแค่ทำงานในหัวข้อเท่านั้น แต่ยังเห็นแรงจูงใจภายในสำหรับการเข้าถึงพวกเขาแทนที่จะทำให้พวกเขา ต้นไม้ชนิดหนึ่ง ลงใน “ดีนี่คือสิ่งที่เราจะเรียนรู้ต่อไป”- ผู้จัดการ
ค: “การเปรียบเทียบพจนานุกรม” ที่คุณพูดถึงคืออะไร?
อ: อิทธิพลทางคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฉันคือที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ของฉันเดนนิสซัลลิแวน ไม่เพียง แต่เป็นที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ของฉันเท่านั้น แต่เมื่อเขายังอยู่ที่ IHES ในประเทศฝรั่งเศสเราจะใช้เวลาสองสามเดือนด้วยกันทุกฤดูร้อนที่นั่นและฉันจะไปสัมมนาที่นิวยอร์กหรือปรินซ์ตัน ตอนนี้เขาเป็นศาสตราจารย์ใน เต็มไปด้วยหิน ลำธาร นิวยอร์กและฉันพยายามไปเยี่ยมที่นั่นปีละครั้ง
ซัลลิแวนคิดค้นพจนานุกรมสวยงามระหว่างแผนที่ที่มีเหตุผลและกลุ่ม เอียนขนาดเล็ก แผนที่เหตุผลคือแผนที่ของทรงกลม แมนน์ กับตัวเองได้รับจากความฉลาดของทั้งสองมีหลายชื่อที่; ตัวอย่างเช่น x2 + C ที่พหุนามในหารคือ 1. สิ่งที่น่าสนใจในการศึกษาคือทวนของแผนที่เหล่านี้ เมื่อคุณมีขนาดกะทัดรัดผ่อนชำระ 3 นานาปกสากลจะออกมาเป็นของแข็ง (เปิด) 3 ลูก ความฉลาดของ 3 ลูกโดยการกระทำของกลุ่มพื้นฐานของนานาเดิมเป็นท่อร่วมไอดีอีกครั้ง 3 ลูกสามารถ โดยการเพิ่มขอบเขตของมันใน R 3คือทรงกลม S 2 การกระทำที่กลุ่ม 3 ลูกขยายไปถึงเขตแดน S2 เป็นแปลง (เช่นแผนที่ของแบบฟอร์ม (AZ+B)/(CZ+D)) นี้เรียกว่ากลุ่ม เอียนขนาดเล็ก ขอให้สังเกตว่าเราเริ่มต้นด้วยการพิจารณานานา 3 มิติและเราจบลงด้วยระบบพลังในทรงกลม นี่คือวิธีที่สองวิชาที่มีการเชื่อมต่อ มีหลายทฤษฎีที่ทำให้การเชื่อมต่อนี้อย่างชัดเจนเป็น ผม เขียนบทความการสำรวจ (“การจำแนกประเภทของระบบ dynamical มาตราส่วน”) สำหรับการประชุมเหยาซึ่งออกมาวางไม่เพียง แต่พจนานุกรมนี้ แต่โครงการวิจัยเพื่อพิสูจน์ผลบนพื้นฐานของมัน การทำความเข้าใจและการพัฒนาพจนานุกรมนี้ได้รับแรงจูงใจที่สำคัญในการทำงานของฉัน ยกตัวอย่างเช่นช่องว่างขนาดใหญ่หนึ่งในพจนานุกรมที่มีการย้อนกลับกระบวนการที่ผมอธิบายไว้ – ถ้าเราจะได้รับพลังของระบบบนทรงกลมที่ไม่มีใครรู้วิธีที่จะหาวัตถุสามมิติที่เกี่ยวข้องกับมัน มีจำนวนมากที่ต้องทำในสนามที่น่าตื่นเต้นนี้!
ค: คุณเก็บเหรียญฟิลด์ไว้ที่ไหน คุณเก็บมันไว้ที่บ้านหรือไม่?
อ (หัวเราะ): ฉันไม่สามารถเปิดเผยข้อมูลนั้นได้!
ค: เมื่อคุณได้รับรางวัลเหรียญฟิลด์คืออะไร มันรู้สึกอย่างไร
อ: ปฏิกิริยาแรกของฉันคือหนึ่งในความประหลาดใจที่สมบูรณ์ ฉันตกตะลึงจริงๆ จริง ๆ แล้วฉันคิดว่าฉันไม่มีคุณสมบัติในแง่ของอายุ ฉันยังรู้จักนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่มากมายที่นี่และที่ เบิร์กลีย์ และที่อื่น ๆ ฉันไม่อยากเชื่อเลยว่าได้รับเลือก นอกจากนี้ในปี 1991 ฉันได้รับรางวัล รางวัลซาเลม ซึ่งเป็นรางวัลในการวิเคราะห์ ฉันยินดีที่ได้รับการยอมรับเช่นนั้นเพราะฉันรักสนามจริงๆ – มันเป็นครั้งแรกของฉันในฐานะนักคณิตศาสตร์ ในความเป็นจริงฉันได้เขียนวิทยานิพนธ์รองของฉันเป็นนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่หมายเลข Salem และรางวัลนี้เป็นเกียรติแก่ราฟาเอลซาเลมดังนั้นมันจึงมีความหมายส่วนตัวสำหรับฉัน ฉันไม่เคยคาดหวังว่าจะได้รับการยอมรับในรูปแบบนั้นดังนั้นฉันรู้สึกว่าฉันได้รับการยอมรับแล้ว (ฉันประหลาดใจพอ ๆ กันที่ฉันได้รับข้อเสนอจาก ฮาร์วาร์ จากนั้นอีกครั้งฉันไม่รู้จะพูดอะไร)
สิ่งนี้ทำให้นึกถึงคำพูดของ ลิปแมน เป็นอาร์เอส ซึ่งเป็นหนึ่งในที่ปรึกษาของฉัน เขากล่าวว่า: “คณิตศาสตร์เป็นสิ่งที่เราทำเพื่อความชื่นชมของเพื่อนสนิทไม่กี่คน” ฉันคิดว่านั่นเป็นคำอธิบายที่ดีของคณิตศาสตร์ คุณไม่คาดหวังมากกว่านั้นเพราะความพึงพอใจของคณิตศาสตร์เป็นเรื่องส่วนตัว ดังนั้นฉันรู้สึกโชคดีมากที่ได้รับการคัดเลือกจากคณะกรรมการเหรียญฟิลด์
หนึ่งในสิ่งมหัศจรรย์เกี่ยวกับคณิตศาสตร์คือชุมชนมีขนาดค่อนข้างเล็ก เมื่อฉันไปเบอร์ลินเพื่อรับรางวัลนี้ผู้คนมากมายที่ฉันรู้จักดีในช่วงหลายปีที่ผ่านมานั้นเป็นชุมชนนานาชาติที่ยอดเยี่ยมของเพื่อน ๆ มันเป็นสิ่งที่ดีจริงๆ
ค: คุณมีความตื่นเต้นอย่างไร?
อ: เกิดอะไรขึ้นฉันรู้สึกตกตะลึงจนลืมมันไปเร็วมากเพราะฉันไม่อยากจะเชื่อเลย และทุกครั้งที่ฉันจะจำ และฉันคิดว่ามันคงไม่เป็นความจริง (หัวเราะ) และแน่นอนว่าฉันจะไม่มีทางตรวจสอบเพราะต้องเป็นความลับ
ค: มีอะไรอีกบ้างที่คุณอยากแบ่งปันกับเราเกี่ยวกับเหรียญ?
จริงๆแล้วฉันมีเรื่องราวเกี่ยวกับตอนที่ฉันกลับมาจากเบอร์ลิน เจ้าหน้าที่รักษาความปลอดภัยในสนามบินที่ใช้เครื่องตรวจจับโลหะหยุดฉันเมื่อกระเป๋าเป้สะพายหลังของฉันผ่านเครื่อง เธอพูดว่า “ขอโทษนะคุณมีอะไรอยู่ในกระเป๋าเป้คุณ?” ฉันพูดว่า “มันเป็นเหรียญทอง” เธอพูดอย่างพิรุธว่า “อืมมมม.” ดังนั้นฉันจึงหยิบมันออกมาจากกระเป๋า เธอพูดน้อย ๆ ว่า “โอ้ดีมาก; ฉันพูดว่า “อืมมม!”