Source page: http://www.math.stonybrook.edu/~tony/mazes/levelseq.html
ผ่านเขาวงกตสู่คณิตศาสตร์
ข้อเท็จจริงพื้นฐานที่ช่วยให้การศึกษาทางคณิตศาสตร์ของเขาวงกตการขนส่งแบบสลับง่ายมีดังต่อไปนี้โทโพโลยีของเขาวงกตการขนส่งแบบสลับที่เรียบง่ายถูกกำหนดโดยลำดับระดับอย่างสมบูรณ์ วิธีการทำงานมีคำอธิบายด้านล่าง หมายความว่าหากเขาวงกตนั่งสองอัน (พูดทั้งสองใน รูปแบบที่ไม่ได้ควบคุม) มีลำดับระดับเดียวกันก็สามารถเปลี่ยนรูปแบบหนึ่งเพื่อให้ตรงกับอีกอันหนึ่งหรือภาพสะท้อนของอีกอันหนึ่งโดยการเปลี่ยนรูปแบบรักษาระดับอย่างต่อเนื่อง
เป็นไปตามที่การจำแนกโทโพโลยีที่สมบูรณ์ ของเขาวงกตการขนส่งแบบสลับอย่างง่ายมีจำนวนเพื่อพิจารณา ว่าลำดับของตัวเลขใดที่สามารถเกิดขึ้นได้ตามลำดับระดับและในความเป็นจริงมีเงื่อนไขสามประการที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการเปลี่ยนแปลงของตัวเลขจาก 0 ถึง n เพื่อให้เป็น ลำดับระดับของเขาวงกต sat ของความลึก n.
1. ลำดับต้องขึ้นต้นด้วย 0 และลงท้ายด้วย n
2. จำนวนเต็มคี่และคู่ต้องสลับกันในลำดับ
3. พิจารณาคู่ของตัวเลขที่ต่อเนื่องกันในลำดับระดับที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่ สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับส่วนแนวตั้งทางด้านขวาของเขาวงกต (*)หากสองส่วนเหล่านี้ทับซ้อนกันจะต้องซ้อนกันภายในอีกส่วนหนึ่ง สิ่งเดียวกันจะต้องมีไว้สำหรับคู่ที่ขึ้นต้นด้วยจำนวนคี่ สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับส่วนเส้นทางแนวตั้งทางด้านซ้าย
ตัวอย่าง: ในลำดับระดับสำหรับ เขาวงกตคอนสแตนติโนเปิล ส่วน (10,1) และ (2,11) ทับซ้อนกัน แต่ไม่มีการซ้อนกัน ดังนั้นนี่จึงไม่สามารถเป็นลำดับระดับของเขาวงกตนั่งได้
นี่คือวิธีพิสูจน์
ความจำเป็นของ 1: ชัดเจน
ความจำเป็นของ 2: สมมติว่าสองเลเยอร์ติดต่อกันที่เชื่อมต่อด้วยส่วนแนวตั้งทางด้านขวากล่าวว่ามีความเท่าเทียมกัน ช่องว่างระหว่างพวกเขาต้องมีจำนวนระดับคี่ เส้นทางใดก็ตามที่ผ่านช่องว่างนั้นจะต้องเข้าและออกทางด้านซ้ายดังนั้นจึงสามารถใช้เลเวลได้ไม่เกินจำนวนเท่า ความขัดแย้ง.
ความจำเป็นของ 3: นึกถึงเขาวงกตในรูปแบบที่ไม่มีการควบคุมโดยมีทางเข้าพูดทางด้านขวา เส้นทางเริ่มต้นทางด้านขวาที่ระดับ 0 และลดลงเป็นระดับแปลก ๆ จากนั้นจะข้ามไปทางซ้ายและเลื่อนไปยังระดับถัดไปตามลำดับซึ่งจะเป็นเลขคู่แล้วข้ามกลับไปทางขวาเป็นต้นดังนั้นคู่ของตัวเลขที่ต่อเนื่องกันในลำดับระดับที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่จะสอดคล้องกับแนวตั้ง ส่วนทางด้านขวาของเขาวงกตและส่วนที่ขึ้นต้นด้วยจำนวนคี่ไปยังส่วนทางด้านซ้าย ตอนนี้ให้พิจารณาสองส่วนของเส้นทางแนวตั้งทางด้านขวา หากซ้อนทับกันจะต้องซ้อนกันภายในอีกอัน มิฉะนั้นทั้งคู่จะไม่สามารถเชื่อมต่อกับส่วนแนวนอนทางด้านซ้ายมือได้เนื่องจากเส้นทางเขาวงกตไม่สามารถตัดกันได้ และสิ่งเดียวกันจะต้องมีไว้สำหรับส่วนเส้นทางแนวตั้งทางด้านซ้าย
ความเพียงพอ: สมมติว่าได้รับการเปลี่ยนแปลงของจำนวนเต็มจาก 0 ถึง n เงื่อนไขที่น่าพอใจ 1, 2 และ 3 ต่อไปนี้คือวิธีทำให้มันกลายเป็นเขาวงกต บนแผ่นกระดาษที่มีเส้นให้เรียงเส้นจาก 0 ถึง n โดยเริ่มจากด้านบน สำหรับคู่ของจำนวนเต็มแต่ละคู่ที่ต่อเนื่องกันในลำดับที่ขึ้นต้นด้วยเลขคู่ให้รวมเส้นที่มีเลขที่ตรงกันโดยมีส่วนแนวตั้งทางด้านขวามือของหน้า หากสองส่วนเหล่านี้ซ้อนกันให้ลากส่วนที่สั้นกว่าไปทางซ้ายของส่วนที่ยาวกว่า ตอนนี้ทำเช่นเดียวกันกับคู่เริ่มต้นที่แปลกยกเว้นทางด้านซ้ายมือโดยวางส่วนที่สั้นกว่าไว้ทางด้านขวา ตอนนี้ในแต่ละบรรทัดที่มีหมายเลข 1,…,n-1 จะมีปลายว่างสองด้านของรูป เข้าร่วมกับพวกเขาตามแนวนั้น ซึ่งจะทำให้ปลายว่างที่ด้านบนและด้านล่าง คุณจะวาดเธรดของ Ariadne ในรูปแบบที่ไม่ได้รับการควบคุมของ เขาวงกตที่สอดคล้องกับลำดับระดับที่คุณเริ่มต้น ตอนนี้สามารถร่างเขาวงกตได้อย่างง่ายดาย ยิ่งไปกว่านั้นเพียงแค่วาดส่วนนั้นของเขาวงกตใกล้ขอบด้านขวาและด้านซ้ายมือของหน้าแล้วนำสองชิ้นนี้เข้าด้วยกัน เงี่ยงภายนอกทำให้เกิดนิวเคลียสซึ่งอาจดึงรูปแบบที่รีดขึ้น
กลับไปที่ หน้าเขาวงกตหลัก
กลับไปที่ โฮมเพจของโทนี่
โทนี่ฟิลลิปส์/Tony Phillips
ฝ่ายคณิตศาสตร์ มหาวิทยาลัยแห่งรัฐนิวยอร์กหินลำธาร
tony at math.stonybrook.edu
5 มิถุนายน 2018